近世代数基础 第二版 (OCR but without bookmark)
刘绍学内容简介
本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计
划”的研究成果。全书分为基础篇和选学篇。与第一版相比,基础篇中
略去了一些“枝叶”以突出基础,选学篇中则添加有限单环和布尔代数以
尝试将非传统内容加入近世代数教科书中。
基础篇部分强调群的背景——对称,介绍了抽象群、环、域的基本概
念、基本性质和基本内容,以及一些具体群(变换群、置换群、平面运动
群)、环(多项式环、函数环、剩余类环)和域(数域、有限域)及其和
抽象群、环、域的关联。选学篇部分除介绍近世代数课程的一些传统内
容,如有限交换群的结构定理、Galois理论外,还介绍了自由群、有限单
环的结构定理、布尔代数、计算代数几何初步——Grobner基等。
本书可作为高等学校数学类专业的教科书,也可供相关专业师生和有
关科研人员参考。
目 录
第一部分基础篇
第一章对称与群....................................................... 3
§1.1平面图形的对称与群......................................... 3
1.1.1运动群......................................................3
1.1.2平面图形对称的数学定义....................................... 5
§1.2多项式的对称与群.............................................. 6
第二章群章群.............................................................. 9
§2.1 群.............................................................. 9
2.1.1群的定义....................................................9
2.1.2群的同构和反同构.......................................... 11
2.1.3 一个写法问题............................................... 13
§2.2 子群............................................................15
2.2.1 一点准备................................................... 16
2.2.2子群的定义................................................. 17
2.2.3两类特殊子群............................................... 19
§2.3生成元集,循环群............................................... 21
2.3.1生成元集...................................................21
2.3.2循环群.....................................................25
§2.4子群(续)...................................................... 27
2.4.1平面运动群的有限子群........................................ 27
2.4.2 Sn 的子群...................................................29
§2.5 商群................................ 31
2.5.1合同关系与合同划分..........................................31
2.5.2 商群...................................................... 33
2.5.3商群与正规子群............................................. 34
§2.6 同态............................................................ 37
2.6.1 同态的定义................................................. 37
2.6.2同态与商群................................................. 39
§2.7有限群........................................................ 42
2.7.1有限群中的数量关系....................................... 42
2.7.2交换群的子群存在问题..................................... 43
2.7.3 Sylow子群的存在问题..................................... 44
§2.8 单群............................................................ 46
§2.9群在集上的作用............................................... 50
2.9.1 G —集的定义............................................. 50
2.9.2 群的表示与G 一集......................................... 50
2.9.3 G —集的结构............................................. 52
2.9.4 G —集的应用............................................. 54
第三章环与域........................................................59
§3.1环与域........................................................ 59
3.1.1环的定义及基本性质........................................ 59
3.1.2 子环...................................................... 63
3.1.3同态、理想、商环.......................................... 64
§3.2环的构造...................................................... 71
3.2.1模仿由》到Q............................................................................................ 71
3.2.2模仿由Q到1R............................................................................................ 74
3.2.3 模仿由IR到C.......................................................................................... 77
3.2.4由群作代数................................................. 79
§3.3多项式环...................................................... 80
3.3.1 R上一元多项式函数环........................................ 81
3.3.2 R上一元多项式环........................................... 82
3.3.3两者之间的关系............................................. 83
3.3.4 R上多元多项式环......................................... 84
§3.4交换环........................................................ 86
3.4.1整环的特征................................................. 86
3.4.2整环的商环................................................. 87
3.4.3素理想和极大理想........................................... 88
§3.5整环的整除理论............................................... 90
3.5.1 出发点.....................................................90
3.5.2整除理论的基本概念..........................................92
3.5.3 唯一分解环、Euclid环、主理想整环........................... 93
3.5.4多项式环的整除理论.......................................... 98
第四章多项式的分裂域.............................................. 104
§4.1 域............................................................ 104
4.1.1 扩域......................................................104
4.1.2 有限扩域.................................................. 106
4.1.3 代数扩域.................................................. 106
4.1.4 一元多项式及其根的性质..................................... 107
§4.2分裂域....................................................... 109
4.2.1 单扩域....................................................109
4.2.2 分裂域.................................................... 111
4.2.3分裂域的存在性............................................ 112
4.2.4分裂域的唯一性............................................ 113
§4.3有限域(分裂域的一个应用)................................... 115
4.3.1有限域的存在性............................................ 115
4.3.2有限域的结构.............................................. 117
4.3.3 例子..................................................... 118
§4.4正规扩域(分裂域续).......................................... 121
4.4.1正规扩域的定义............................................ 121
4.4.2正规扩域=分裂域......................................... 121
4.4.3分裂域是单扩域............................................ 123
4.4.4 分裂域的Galois群......................................... 124
§4.5尺规作图不能问题............................................ 126
第二部分选学篇
第五章群论...........................................................135
§5.1有限交换群的结构定理.........................................135
5.1.1 一些准备.................................................. 135
5.1.2分解成p —加群的直和....................................... 136
5.1.3 p 一加群的再分解............................................ 137
5.1.4 群的构造.................................................. 139
5.1.5主要定理.................................................. 140
5.1.6 例子..................................................... 141
§5.2群的构造,自由群.............................................. 143
第六章环论与模论................................................... 151
§6.1环的表示与模..................................................151
6.1.1 表示与模.................................................. 151
6.1.2模的基本概念........................................ 154
6.1.3模论观点下的有限交换群结构定理............................ 156
§6.2有限单环的结构定理.......................................... 158
6.2.1定义及例子................................................ 158
6.2.2模论方面的准备——单模对应的表示.......................... 159
6.2.3单模给出的有限单环的表示................................... 161
6.2.4主要定理.................................................. 161
§6.3布尔代数..................................................... 164
6.3.1布尔代数的背景............................................ 164
6.3.2 布尔代数.................................................. 166
6.3.3布尔函数与布尔多项式函数................................... 167
6.3.4积和标准布尔多项式.........................................168
6.3.5布尔函数与布尔多项式函数(续).............................. 169
6.3.6和积标准布尔多项式.........................................170
6.3.7回到开关电路.............................................. 170
§6.4 Zorn 引理..................................................... 171
第七章域论.......................................................... 175175
§7.1 Galois 基本定理..............................................175
§7.2 一个例子..................................................... 183
§7.3用根式解代数方程问题.........................................188
§7.4有限域的一个应用——编码................................. 193
第八章 多元多项式环(代数几何初步)................................. 202
§8.1代数簇....................................................... 202
§8.2 Hilbert 基定理................................................206
§8.3代数簇的分解................................................. 210
§8.4 Grobner 基................................................... 214
§8.5 Buchberger 算法............................................. 220
§8.6初等几何的机器证明.......................................... 226
参考文献 ............................................................ 231
符号表 ................................................... 232
索引 ............................................